1. Caos, fractales y cosas raras.

Este sera un breve recorrido por los aspectos mas relevantes del libro Caos, fractales y cosas raras escrito por Eliezer Braun. Aquí podrás encontrar una síntesis del libro y aplicaciones que te ayudaran a comprender de manera muy sencilla y ludica lo que el autor nos expone en su libro.
2. La geometría euclidiana.
3. Ejemplos de algunas cosas raras.
4. Los fractales, nuevas dimensionalidades.
5. Mas sobre fractales.
6. Condiciones iniciales y su importancia.
7. La similitud en la música.
8. La turbulencia de los fluidos.
9. Acerca de los ciclos biológicos. (El corazón)
10. Estructuras biológicas raras.
11. El diseño de estructura en la ingeniería.
12. Seguridad y catástrofe.
13. El caos ordena la lingüística.
14. Economía ¿Es posible ganar en la bolsa de valores?
15. La composición de mapas, relieves y lineas costeras.
16. ¿Durara el sistema solar?
17. Los asteroides.
18. Los tropiezos de Hiperion.
19. ¿Que ocurre con los planetas?

2. La geometría euclidiana.

Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:

a) La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°

b) En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma       de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

La geometría de Euclides es un instrumento de razonamiento en muchos campos del conocimiento por ejemplo: en la física, la química y diversas ingenieras. las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene ancho, etcétera de círculos. 

3.Ejemplos de algunas cosas raras.

Situación: medir alguna longitud; como la de una costa, entre dos puntos A y B

¿Cual es la longitud de la costa entre los puntos a y b ?

Nos damos cuenta inmediatamente de que tal número en realidad no es el valor de la longitud de la costa, ya que por ejemplo, entre los puntos A y C donde cayó la barra la primera vez, la longitud de ese tramo de costa no es la de la barra.

Podemos continuar indefinidamente de esta manera, tomando unidades cada vez más y más pequeñas. Intuitivamente esperaríamos que la sucesión de valores que se obtengan para las longitudes de la costa, medidas de esta manera, tendería a alcanzar un valor bien definido que sería la "verdadera" longitud de la costa. Sin embargo, esto no ocurre.

Para mejorar nuestra medición tomamos otra barra, de menor longitud, digamos de la décima parte de la anterior, H/10, y repetimos el procedimiento obteniendo para la longitud de la costa el número L₂.

4. Los fractales, nuevas dimensionalidades.

En 1961 el inglés L. F. Richardson presentó una serie de las mediciones experimentales que hizo de varias costas, fronteras y cuerpos geométricos regulares. En cada caso fue cambiando el valor de la unidad de medida H; de esta forma obtuvo el correspondiente valor de la longitud L que denotamos como L(H), pues depende de la unidad H. 

5. Mas sobre fractales.

Cuando una persona se coloca entre dos espejos paralelos y observa las imágenes de su cuerpo. Pero estas imágenes no son todas iguales, sino que una es más pequeña que la otra. Si los espejos se hallan situados en forma perfectamente paralela, entonces el número de imágenes es infinita y así tenemos un conjunto auto similar.

La auto similitud es una idea que ya había sido sugerida en muchas ocasiones a lo largo de la historia. Por ejemplo, en el siglo XVII, el pensador alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716) propuso que una gota de agua contenía todo un universo, que a su vez contenía gotas de agua más pequeñas; cada una de estas pequeñas gotas encerraba a su vez un universo que tenía en su interior otras gotas de agua, todavía más pequeñas y cada una de ellas.

Fue hasta la década de 1960 y de 1970 que Mandelbrot volvió a proponer esta idea, pero en un contexto completamente distinto de los anteriores. Se ha demostrado que la auto similitud se presenta en gran variedad de fenómenos y situaciones muy diversas.

6. Condiciones iniciales y su importancia.

La caída de los cuerpos:

Una piedra cae al soltarla debido a que experimenta una fuerza, la de gravedad, que está dirigida hacia el centro de la Tierra. Con base en las leyes de Newton.

Este ejemplo nos ilustra un hecho muy importante: para conocer el tipo de evolución que sigue un sistema se necesita conocer, además de las leyes que lo rigen (en los casos de arriba, las de Newton y la fuerza de la gravedad), las condiciones iniciales del sistema. Bajo las mismas leyes, diferentes condiciones iniciales producen distintas evoluciones en el tiempo.

La cuestión a que se refirió Poincaré tiene que ver con lo siguiente. Tomemos dos piedras iguales. Soltemos la primera piedra desde cierto punto, digamos el A, sobre el suelo (figura 14(a)). Al mismo tiempo soltemos la segunda piedra desde el punto B, que está muy cercano al A. Nos damos cuenta de que, no obstante que en ambos casos las velocidades iniciales de las piedras son iguales (cero), sus posiciones iniciales no son iguales ya que las soltamos desde dos puntos distintos, aunque difieren muy poco. Decimos que las condiciones iniciales de ambas piedras no son las mismas, aunque sí muy parecidas. 

7. La similitud en la música.

Las aplicaciones de las leyes de potencias se producen en varios campos, aun en la música, el análisis de la estructura de famosas obras de grandes compositores ha demostrado que tienen algunos elementos  en común, después de un análisis auditivo se ha estudiado como se ejecuta la obra musical; mediante sus ondas sonoras y su frecuencia.

8. La turbulencia de los fluidos.

El fenómeno de la turbulencia ha sido estudiado por un buen número de científicos a lo largo de más de 150 años.
Se han realizado diversos experimentos análogos, con condiciones que generan turbulencias. Los análisis de los resultados obtenidos han indicado que al iniciarse la turbulencia es cuando empieza el caos. La relación entre turbulencia y caos en un fluido es tema de investigación activa en la actualidad.
Ejemplo: para estudiar este fenómeno se confine un liquido en una capsula muy pequeña y se mantiene una diferencia de temperatura fija entre la superficie superior e inferior de la capsula. La superficie inferior se mantiene más caliente que la superior. Esta diferencia de temperatura causa que el liquido en la parte inferior se expanda, volviéndose más ligero que el de arriba. Este empieza a bajar y el de abajo sube, es decir, ocurre la turbulencia. 

9. Acerca de los ciclos biológicos. (El corazón)

En los sistemas biológicos existe un variado número de ritmos, una forma acostumbrada de estudiar este tipo de fenómenos ha sido investigar el órgano biológico que lo produce y estudiar con todo detalle su comportamiento biológico, químico y físico. Gracias a ello se ha permitido grandes avances en la medicina, sin embargo, no ha sido suficiente.
El corazón es un sistema complejo, se ha demostrado que su actividad eléctrica presenta secuencias de doblamiento de periodos hasta llegar a un régimen caótico, cuyo comportamiento es similar al de otros sistemas que desarrollan caos. Además el comportamiento caótico de algún sistema biológico no siempre está relacionado con alguna enfermedad, aunque, se ha empezado a considerar el caos como fuente de salud.

10. Estructuras biológicas raras.

El cerebro es una de las estructuras biológicas más raras del  ser humano y de los animales, la corteza cerebral de los animales está muy convolucionada, sin importar su posición en la escala de la evolución.
Los fractales, se encuentran en distintos sistemas y órganos anatómicos, por ejemplo en la red vascular, las arterias, las redes neurales, los ductos pancreáticos, la placenta, los bronquios, etc.
Los fractales han empezado a tener una incidencia muy grande en el estudio de la anatomía.

11. El diseño de estructura en la ingeniería.

La manera para llegar a tener un mejor diseño de una estructura es la disposición y orden de las partes dentro de un todo. Se puede entender como un sistema de conceptos coherentes enlazados, cuyo objetivo es precisar la esencia del estudio. Tanto la realidad como el lenguaje tienen estructura.
Uno de los  objetivos de la ingeniería consiste en que la estructura refleje fielmente la realidad.
Un punto importante y crucial con respecto a la capacidad de carga de una estructura es que, mientras más puntos ramales tenga una estructura, mayor será la resistencia que pueda soportar.

12. Seguridad y catástrofe.

El comportamiento de un sistema complejo, al que en general rigen leyes no lineales, puede entenderse como regiones periódicas y regiones caóticas, el sistema está representado por un parámetro, sin embargo en muchos sistemas no es uno si no varios los parámetros que lo conforman el hecho de que haya varios parámetros hace que la frontera entre un tipo de comportamiento, periódico, y otro, caótico, no sea tan fácil de definir.

13. El caos ordena la lingüística.

El estudio de diferentes textos en varios idiomas, se ha demostrado que existe una relación entre la frecuencia de una palabra y su rango, en efecto, mientras mayor sea el rango de una palabra, menor será la frecuencia con la que aparece en el texto.  
Por ejemplo: en todo texto escrito hay palabras que se repiten, un ejemplo es la preposición “de”. Así en un texto se pueden contar cuantas veces aparece “de” y se encuentra un numero. Si este se divide entre el número total de palabras del texto, se obtiene su frecuencia y, de esta manera, la frecuencia de cada palabra que aparece en un escrito.

14. Economía ¿Es posible ganar en la bolsa de valores?

Los economistas, en el campo de las ciencias son los encargados de estudiar el fenómeno de la bolsa de valores por medio del alza o baja de los precios de los productos. En este orden de ideas, se plantea que la variación de los precios siguen la ley de la curva Gaussiana, esta, en pocas palabras, indica la interacción de la gran cantidad de factores o en este caso precios. Surge el problema que esta curva no siempre es efectiva para la bolsa de valores, ya que la dinámica de los precios es no lineal y al no ser no lineal es caótica; por lo que se crean empresas como The Prediction Company el cual, por medio de un sistema numérico de predicciones a corto plazo, tienen éxito con los clientes de la bolsa de valores.

14. Economía ¿Es posible ganar en la bolsa de valores?

Los economistas, en el campo de las ciencias son los encargados de estudiar el fenómeno de la bolsa de valores por medio del alza o baja de los precios de los productos. En este orden de ideas, se plantea que la variación de los precios siguen la ley de la curva Gaussiana, esta, en pocas palabras, indica la interacción de la gran cantidad de factores o en este caso precios. Surge el problema que esta curva no siempre es efectiva para la bolsa de valores, ya que la dinámica de los precios es no lineal y al no ser no lineal es caótica; por lo que se crean empresas como The Prediction Company el cual, por medio de un sistema numérico de predicciones a corto plazo, tienen éxito con los clientes de la bolsa de valores.

15. La composición de mapas, relieves y lineas costeras.

Con fractales es posible realizar mapas geográficos, líneas costeras y relieves, por medio de determinados algoritmos realizados por matemáticos en conjunto con geógrafos. En este caso se trata solo del relieve de una montaña y de plasmar este mismo en un mapa, que al sentido común del hombre podría hacerse por medio de fotos. Pero este medio es bastante complejo ya que habría que tener en cuenta la resolución de la foto y la cantidad de micro cuadros (pixeles) para un buen desarrollo del mapa; por lo que la solución más fácil y practica es la de realizar formulas algorítmicas.

16. ¿Durara el sistema solar?

Una gran cantidad de personajes históricos se han preguntado por nuestra posición en el universo. Tycho Brahe y Johannes Kepler, por medio de sistemas numéricos lograron entender que:

-Los planetas se mueven alrededor del sol por medio de orbitas elípticas.

-Los planetas al dar vuelta alrededor del sol tienen velocidades variables.

-Mientras más lejano este un planeta del sol, más lento será el cumplimiento de un año.

Estas tres conclusiones son las hoy llamadas leyes de Kepler.

Unos años después, gracias al cálculo diferencial y al cálculo integral, Isaac Newton ampliaba con complejas ecuaciones lo que eran estas 3 leyes, gracias al desarrollo de estas fórmulas se puede saber lo que pasara en un futuro cercano en el sistema solar.

17. Los asteroides.

Entre Marte y Júpiter existe una gran cadena de asteroides, un cinturón de asteroides, que constantemente circula cerca a estos planetas. Estos asteroides orbitan alrededor del sol pero son afectados por la gravedad de Marte y Júpiter por lo que su trayectoria tiende a ser ondulada. A medida del paso de los años, se han hecho varias investigaciones con respecto a esta curiosa órbita  uno de estas es la distancia de Júpiter con respecto a los asteroides y al Sol. Como resultado de esta investigación se da que en los periodos que son cocientes de números enteros, la brecha de distancia entre el asteroide y el sol será mayor. Después de 12 años los 2 cuerpos, Júpiter y el asteroide estarán a la mínima distancia.

Un asteroide puede permanecer 150000 años en una órbita reducida y después cambiarla notablemente; aproximadamente en los próximos 10000 años no ocurriría ninguna modificación en la órbita de los asteroides. En conclusión el comportamiento de los asteroides, de Júpiter y del Sol, con el paso del tiempo tiende a ser caótica.

18. Los tropiezos de Hiperion.

La Luna gira alrededor de su propio eje y de la tierra en una velocidad constante que en consecuencia, frente a los ojos de los hombres, siempre muestra la misma cara.

Uno de los satélites de Saturno, Hiperion, da una vuelta alrededor de su eje en 13 días mientras gira alrededor del planeta en 21 días. Tiene una gran cantidad de inmensos cráteres y sus dimensiones son de 380km por 290km por 230km, lo que lo hacen el satélite más irregular conocido por el hombre. En la órbita de Hiperion, la cual es bastante rara, influye la gravedad de Saturno y de otro de sus satélites Titán. Junto con las ecuaciones de Newton y estos 3 cuerpos se encuentra que hay gran cantidad de puntos caóticos.

Independientemente del cambio en la trayectoria de la órbita de Hiperion, este satélite siempre estará en puntos caóticos.  

19. ¿Que ocurre con los planetas?

El conjunto del sistema solar se ve afectado casi en su totalidad por las fuerzas del sol y así también por los planetas que componen este sistema. Por medio de las ecuaciones de Newton, gran cantidad de científicos han querido mostrar los comportamientos exactos del sistema solar; hasta ahora ninguno lo logró.

En 1984 Gerald Sussman junto a Jack Wisdom trabajaron en el cálculo numérico de la evolución del sistema solar, llegando a la conclusión de que todos los astrónomos solo podrán predecir donde se encuentren los planetas en unos miles de años; todavía es un misterio el movimiento caótico del Sistema Solar en su totalidad.